Отношение x y на множестве действительных чисел. Свойства отношений и их графы

Определение . Бинарным отношением R называется подмножество пар (a,b)∈R декартова произведения A×B, т. е. R⊆A×B . При этом множество A называют областью определения отношения R, множество B – областью значений.

Обозначение: aRb (т. е. a и b находятся в отношении R). /

Замечание : если A = B , то говорят, что R есть отношение на множестве A .

Способы задания бинарных отношений

1. Списком (перечислением пар), для которых это отношение выполняется.

2. Матрицей. Бинарному отношению R ∈ A × A , где A = (a 1 , a 2 ,..., a n), соответствует квадратная матрица порядка n , в которой элемент c ij , стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен 1, если между a i и a j имеет место отношение R , или 0, если оно отсутствует:

Свойства отношений

Пусть R – отношение на множестве A, R ∈ A×A . Тогда отношение R:

рефлексивно, если Ɐ a ∈ A: a R a (главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только единицы);

антирефлексивно, если Ɐ a ∈ A: a R a (главная диагональ матрицы рефле сивного отношения содержит только нули);

симметрично, если Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b R a (матрица такого отношения симметрична относительно главной диагонали, т.е. c ij c ji);

антисимметрично, если Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (в матрице такого отношения отсутствуют единицы, симметричные относительно главной диагонали);

транзитивно, если Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c (в матрице такого отношения должно выполняться условие: если в i-й строке стоит единица, например в j-ой координате (столбце) строки, т. е. c ij = 1 , то всем единицам в j-ой строке (пусть этим единицам соответствуют k е координаты такие, что, c jk = 1) должны соответствовать единицы в i-й строке в тех же k-х координатах, т. е. c ik = 1 (и, может быть, ещё и в других координатах).

Задача 3.1. Определите свойства отношения R – «быть делителем», заданного на множестве натуральных чисел.

Решение.

отношение R = {(a,b):a делитель b}:

рефлексивно, не антирефлексивно, так как любое число делит само себя без остатка: a/a = 1 для всех a∈N ;

не симметрично, антисимметрично, например, 2 делитель 4, но 4 не является делителем 2;

транзитивно,таккакесли b/a ∈ N и c/b ∈ N, то c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, например, если 6/3 = 2∈N и 18/6 = 3∈N, то 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Задача 3.2. Определите свойства отношения R – «быть братом», заданного на множестве людей.
Решение.

Отношение R = {(a,b):a - брат b}:

не рефлексивно, антирефлексивно из-за очевидного отсутствия aRa для всех a;

не симметрично, так как в общем случае между братом a и сестрой b имеет место aRb , но не bRa ;

не антисимметрично, так как если a и b –братья, то aRb и bRa, но a≠b;

транзитивно, если называть братьями людей, имеющих общих родителей (отца и мать).

Задача 3.3. Определите свойства отношения R – «быть начальником», заданного на множестве элементов структуры

Решение.

Отношение R = {(a,b) : a - начальник b}:

• не рефлексивно, антирефлексивно, если в конкретной интерпретации не имеет смысла;
• не симметрично, антисимметрично, так как для всех a≠b не выполняется одновременно aRb и bRa;
• транзитивно, так как если a начальник b и b начальник c , то a начальник c .

Определите свойства отношения R i , заданного на множестве M i матрицей, если:

1. R 1 «иметь один и тот же остаток от деления на 5»; M 1 множество натуральных чисел.
2. R 2 «быть равным»; M 2 множество натуральных чисел.
3. R 3 «жить в одном городе»; M 3 множество людей.
4. R 4 «быть знакомым»; M 4 множество людей.
5. R 5 {(a,b):(a-b) - чётное; M 5 множество чисел {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
6. R 6 {(a,b):(a+b) - чётное; M 6 множество чисел {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
7. R 7 {(a,b):(a+1) - делитель (a+b)} ; M 7 - множество {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
8. R 8 {(a,b):a - делитель (a+b),a≠1}; M 8 - множество натуральных чисел.
9. R 9 «быть сестрой»; M 9 - множество людей.
10. R 10 «быть дочерью»; M 10 - множество людей.

Операции над бинарными отношениями

Пусть R 1 , R 1 есть отношения, заданные на множестве A .

объединение R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = {(a,b) : (a,b) ∈ R 1 или (a,b) ∈ R 2 } ;

пересечение R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = {(a,b) : (a,b) ∈ R 1 и (a,b) ∈ R 2 } ;

разность R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = {(a,b) : (a,b) ∈ R 1 и (a,b) ∉ R 2 } ;

универсальное отношение U: = {(a;b)/a ∈ A & b ∈ A}. ;

дополнение R 1 U \ R 1 , где U = A × A;

тождественное отношение I: = {(a;a) / a ∈ A};

обратное отношение R -11 : R -11 = {(a,b) : (b,a) ∈ R 1 };

композиция R 1 º R 2: R 1 º R 2: = {(a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b}, где R 1 ⊂ A × C и R 2 ⊂ C × B;

Определение. Степенью отношения R на множестве A называется его композиция с самим собой.

Обозначение:

Определение . Если R ⊂ A × B , то R º R -1 называется ядром отношения R .

Теорема 3.1. Пусть R ⊂ A × A – отношение, заданное на множестве A .

1. R рефлексивно тогда и только тогда, (далее используется знак ⇔) когда I ⊂ R.
2. R симметрично ⇔ R = R -1 .
3. R транзитивно ⇔ R º R ⊂ R
4. R антисимметрично ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I .
5. R антирефлексивно ⇔ R ⌒ I = ∅ .

Задача 3.4 . Пусть R - отношение между множествами {1,2,3} и {1,2,3,4}, заданное перечислением пар: R = {(1,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,4)}. Кроме того, S - отношение между множествами S = {(1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)}. Вычислите R -1 , S -1 и S º R. Проверьте, что (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

Решение.
R -1 = {(1,1), (1,3), (3,2), (4,2), (4,3)};
S -1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,4)};
S º R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)};
(S º R) -1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)};
R -1 º S -1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2 ,1), (2,2), (2,3)} = (S º R) -1 .

Задача 3.5 . Пусть R отношение «...родитель...», а S отношение «...брат...» на множестве всех людей. Дайте краткое словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 и R º R.

Решение.

R -1 - отношение«...ребёнок...»;

S -1 - отношение«...брат или сестра...»;

R º S - отношение «...родитель...»;

S -1 º R -1 - отношение «...ребёнок...»

R º R - отношение «...бабушка или дедушка...»

Задачи для самостоятельного решения

1) Пусть R - отношение «...отец...», а S - отношение «...сестра...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , R º R.

2) Пусть R - отношение «...брат...», а S - отношение «...мать...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , S º S.

3) Пусть R - отношение «...дед...», а S - отношение «...сын...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

4) Пусть R - отношение «...дочь...», а S - отношение «...бабушка...» на множе- стве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

5) Пусть R - отношение «...племянница...», а S - отношение «...отец...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

6) Пусть R - отношение «сестра...», а S - отношение «мать...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

7) Пусть R - отношение «...мать...», а S - отношение «...сестра...» на множе- стве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S1, R º S, S1 º R1, S º S.

8) Пусть R - отношение «...сын...», а S - отношение «...дед...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

9) Пусть R - отношение «...сестра...», а S - отношение «...отец...» на множе- стве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

10) Пусть R - отношение «...мать...», а S - отношение «...брат...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

Лекция 3.

п.3. Отношения на множествах. Свойства бинарных отношений.

3.1. Бинарные отношения .

Когда говорят о родстве двух людей, например, Сергей и Анна, то подразумевают, что есть некая семья, к членам которой они относятся. Упорядоченная пара (Сергей, Анна) отличается от других упорядоченных пар людей тем, что между Сергеем и Анной есть некое родство (кузина, отец и т. д.).

В математике среди всех упорядоченных пар прямого произведения двух множеств A и B (A ´B ) тоже выделяются «особые» пары в связи с тем, что между их компонентами есть некоторые «родственные» отношения, которых нет у других. В качестве примера рассмотрим множество S студентов какого-нибудь университета и множество K читаемых там курсов. В прямом произведении S ´K можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (s , k ), обладающих свойством: студент s слушает курс k . Построенное подмножество отражает отношение «… слушает …», естественно возникающее между множествами студентов и курсов.

Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств введем понятие бинарного отношения.

Определение 3.1. Бинарным (или двухместным ) отношением r между множествами A и B называется произвольное подмножество A ´B , т. е.

В частности, если A= B (то есть rÍA 2), то говорят, что r есть отношение на множестве A.

Элементы a и b называются компонентами (или координатами ) отношения r.

Замечание. Договоримся, что для обозначения отношений между элементами множеств использовать греческий алфавит : r, t, j, s, w и т. д.

Определение 3.2. Областью определения D r={a | $ b , что a rb } (левая часть). Областью значений бинарного отношения r называется множество R r={b | $ a , что a rb } (правая часть).

Пример 3. 1. Пусть даны два множества A ={1; 3; 5; 7} и B ={2; 4; 6}. Отношение зададим следующим образом t={(x ; y )ÎA ´B | x+ y =9}. Это отношение будет состоять из следующих пар (3; 6), (5; 4) и (7; 2), которые можно записать в виде t={(3; 6), (5; 4), (7;2)}. В данном примере D t={3; 5; 7} и R t= B ={2; 4; 6}.

Пример 3. 2. Отношение равенства на множестве действительных чисел есть множество r={(x ; y ) | x и y – действительные числа и x равно y }. Для этого отношения существует специальное обозначение «=». Область определения совпадает с областью значений и является множеством действительных чисел, D r= R r.

Пример 3. 3. Пусть A – множество товаров в магазине, а B – множество действительных чисел. Тогда j={(x ; y )ÎA ´B | y – цена x } – отношение множеств A и B .

Если обратить внимание на пример 3.1., то можно заметить, что данное отношение было задано сначала в виде t={(x ; y )ÎA ´B | x+ y =9}, а потом записано в виде t={(3; 6), (5;4), (7;2)}. Это говорит о том, что отношения на множествах (или одном множестве) можно задавать различными способами. Рассмотрим способы задания бинарных отношений.

Способы задания отношений:

1) с помощью подходящего предиката;

2) множество упорядоченных пар;

3) в графической форме: пусть A и B – два конечных множества и r – бинарное отношение между ними. Элементы этих множеств изображаем точками на плоскости. Для каждой упорядоченной пары отношения r рисуют стрелку, соединяющую точки, представляющие компоненты пары. Такой объект называется ориентированным графом или орграфом , точки же, изображающие элементы множеств, принято называть вершинами графа .

4) в виде матрицы: пусть A ={a 1, a 2, …, an } и B ={b 1, b 2, …, bm }, r – отношение на A ´B . Матричным представлением r называется матрица M =[mij ] размера n ´m , определенная соотношениями

.

Кстати, матричное представление является представлением отношения в компьютере.

Пример 3. 4. Пусть даны два множества A ={1; 3; 5; 7}и B ={2; 4; 6}. Отношение задано следующим образом t={(x ; y ) | x+ y =9}. Задать данное отношение как множество упорядоченных пар, орграфом, в виде матрицы.

Решение. 1) t={(3; 6), (5; 4), (7; 2)} - есть задание отношения как множества упорядоченных пар;

2) соответствующий ориентированный граф показан на рисунке.

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" height="117">. ,

Пример 3. 5 . Еще в качестве примера можно рассмотреть предложенную Дж. фон Нейманом (1903 – 1957) блок-схему ЭВМ последовательного действия, которая состоит из множества устройств M :

,

где a – устройство ввода, b – арифметическое устройство (процессор), c – устройство управления, d – запоминающее устройство, e – устройство вывода.

Рассмотрим информационный обмен между устройствами mi и mj , которые находятся в отношении r, если из устройства mi поступает информация в устройство mj .

Это бинарное отношение можно задать перечислением всех его 14 упорядоченных пар элементов:

Соответствующий орграф, задающий это бинарное отношение, представлен на рисунке:

Матричное представление этого бинарного отношения имеет вид:

. ,

Для бинарных отношений обычным образом определены теоретико-множественные операции: объединение, пересечение и т. д.

Введем обобщенное понятие отношения.

Определение 3.3. n-местное (n -арное ) отношение r – это подмножество прямого произведения n множеств, то есть множество упорядоченных наборов (кортежей )

rÍA 1´…´An ={(a 1, …, an )| a 1ÎA 1Ù … Ùan ÎAn }

Многоместные отношения удобно задавать с помощью реляционных таблиц . Такое задание соответствует перечислению множества n -к отношения r. Реляционные таблицы широко используются в компьютерной практике в реляционных базах данных . Заметим, что реляционные таблицы нашли применение в повседневной практике. Всевозможные производственные, финансовые, научные и другие отчеты часто имеют форму реляционных таблиц.

Слово «реляционная » происходит от латинского слова relation , которое в переводе на русский язык означает «отношение». Поэтому в литературе для обозначения отношения используют букву R (латинскую) или r (греческую).

Определение 3.4. Пусть rÍA ´B есть отношение на A ´B. Тогда отношение r-1 называется обратным отношением к данному отношению r на A ´B , которое определяется следующим образом:

r-1={(b , a ) | (a , b )Îr}.

Определение 3.5. Пусть r ÍA ´B есть отношение на A ´B, а s ÍB ´C – отношение на B ´C. Композицией отношений s и r называется отношение t ÍA ´C ,которое определяется следующим образом:

t=s◦r= {(a , c )| $ b Î B, что (a , b )Îr и (b , c )Îs}.

Пример 3. 6 . Пусть , и C ={, !, d, à}. И пусть отношение r на A ´B и отношение s на B ´C заданы в виде:

r={(1, x ), (1, y ), (3, x )};

s={(x ,), (x , !), (y , d), (y , à)}.

Найти r-1 и s◦r, r◦s.

Решение. 1) По определению r-1={(x , 1), (y , 1), (x , 3)};

2) Используя определение композиции двух отношений, получаем

s◦r={(1,), (1, !), (1, d), (1, à), (3,), (3, !)},

поскольку из (1, x )Îr и (x ,)Îs следует (1,)Îs◦r;

из (1, x )Îr и (x , !)Îs следует (1, !)Îs◦r;

из (1, y )Îr и (y , d)Îs следует (1, d)Îs◦r;

из (3, x )Îr и (x , !)Îs следует (3, !)Îs◦r.

Теорема 3.1. Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:

2) ;

3) - ассоциативность композиции.

Доказательство. Свойство 1 очевидно.

Докажем свойство 2. Для доказательства второго свойства покажем, что множества, записанные в левой и правой частях равенства, состоят из одних и тех же элементов. Пусть (a ; b ) Î (s◦r)-1 Û (b ; a ) Î s◦r Û $ c такое, что (b ; c ) Î r и (c ; a ) Î s Û $ c такое, что (c ; b ) Î r-1 и (a ; c ) Î s-1 Û (a ; b ) Î r -1◦s -1.

Свойство 3 доказать самостоятельно.

3.2. Свойства бинарных отношений .

Рассмотрим специальные свойства бинарных отношений на множестве A .

Свойства бинарных отношений.

1. Отношение r на A ´A называется рефлексивным , если (a ,a ) принадлежит r для всех a из A .

2. Отношение r называется антирефлексивным , если из (a ,b )Îr следует a ¹b .

3. Отношение r симметрично , если для a и b , принадлежащих A , из (a ,b )Îr следует, что (b ,a )Îr.

4. Отношение r называется антисимметричным , если для a и b из A , из принадлежности (a ,b ) и (b ,a ) отношению r следует, что a =b .

5. Отношение r транзитивно , если для a , b и c из A из того, что (a ,b )Îr и (b ,c )Îr, следует, что (a ,c )Îr.

Пример 3. 7. Пусть A ={1; 2; 3; 4; 5; 6}. На этом множестве задано отношение rÍA 2, которое имеет вид: r={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2), (1; 4), (2; 1), (2;4), (3;5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)}. Какими свойствами обладает данное отношение?

Решение. 1) Это отношение рефлексивно, так как для каждого a ÎA , (a ; a )Îr.

2) Отношение не является антирефлексивным, так как не выполняется условие этого свойства. Например, (2, 2)Îr, но отсюда не следует, что 2¹2.

3) Рассмотрим все возможные случаи, показав, что отношение r является симметричным:

	(a , b )Îr	(b , a )	(b , a )Îr?

4) Данное отношение не является антисимметричным, поскольку (1, 2)Îr и (2,1)Îr, но отсюда не следует, что 1=2.

5) Можно показать, что отношение r транзитивно, используя метод прямого перебора.

	(a , b )Îr	(b , c )Îr	(a , c )	(a , c )Îr?

Как по матрице представления

определить свойства бинарного отношения

1. Рефлексивность: на главной диагонали стоят все единицы, звездочками обозначены нули или единицы.

.

2. Антирефлексивность: на главной диагонали все нули.

3. Симметричность: если .

4. Антисимметричность: все элементы вне главной диагонали равны нулю; на главной диагонали тоже могут быть нули.

.

Операция «*» выполняется по следующему правилу: , где , .

5. Транзитивность: если . Операция «◦» выполняется по обычному правилу умножения, при этом надо учитывать: .

3.3 Отношение эквивалентности. Отношение частичного порядка.

Отношение эквивалентности является формализацией такой ситуации, когда говорят о сходстве (одинаковости) двух элементов множества.

Определение 3.6. Отношение r на A есть отношение эквивалентности , если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение эквивалентности a rb часто обозначается: a ~ b .

Пример 3. 8 . Отношение равенства на множестве целых чисел есть отношение эквивалентности.

Пример 3. 9 . Отношение «одного роста» есть отношение эквивалентности на множестве людей X .

Пример 3. 1 0 . Пусть ¢ - множество целых чисел. Назовем два числа x и y из ¢ сравнимыми по модулю m (m Î¥) и запишем , если равны остатки этих чисел от деления их на m , т. е. разность (x -y ) делится на m .

Отношение «сравнимых по модулю m целых чисел» есть отношение эквивалентности на множестве целых числе ¢. В самом деле:

это отношение рефлексивно, т. к. для "x ΢ имеем x -x =0, и, следовательно, оно делится на m ;

это отношение симметрично, т. к. если (x -y ) делится на m , то и (y -x ) тоже делится на m ;

это отношение транзитивно, т. к. если (x -y ) делится на m , то для некоторого целого t 1 имеем https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width="73" height="24 src=">, отсюда , т. е. (x -z ) делится на m .

Определение 3.7. Отношение r на A есть отношение частичного порядка , если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно и обозначается символом °.

Частичный порядок важен в тех ситуациях, когда мы хотим как-то охарактеризовать старшинство. Иными словами, решить при каких условиях считать, что один элемент множества превосходит другой.

Пример 3. 11 . Отношение x £y на множестве действительных чисел есть отношение частичного порядка. ,

Пример 3. 1 2 . Во множестве подмножеств некоторого универсального множества U отношение A ÍB есть отношение частичного порядка.

Пример 3. 1 3 . Схема организации подчинения в учреждении есть отношение частичного порядка на множестве должностей.

Прообразом отношения частичного порядка является интуитивное понятие отношения предпочтения (предшествования). Отношение предпочтения выделяет класс задач, которые можно объединить, как задача о проблеме выбора наилучшего объекта .

Формулировка задачи: пусть имеется совокупность объектов A и требуется сравнить их по предпочтительности, т. е. задать отношение предпочтения на множестве A и определить наилучшие объекты.

Отношение предпочтения P , которое можно определить как «aPb , a , b ÎA Û объект a не менее предпочтителен, чем объект b » является по смыслу рефлексивным и антисимметричным (каждый объект не хуже самого себя, и, если объект a не хуже b и b не хуже a , то они одинаковы по предпочтительности). Естественно считать, что отношение P транзитивно (хотя в случае, когда, например, предпочтения обсуждаются группой лиц с противоположными интересами, это свойство может быть нарушено), т. е. P – отношение частичного порядка.

Один из возможных способов решения задачи сравнения объектов по предпочтительности – ранжирование , т. е. упорядочение объектов в соответствии с убыванием их предпочтительности или равноценности. В результате ранжирования мы выделяем «наилучшие» или «наихудшие» с точки зрения отношения предпочтения объекты.

Области применения задачи о проблеме выбора наилучшего объекта: теория принятия решений, прикладная математика, техника, экономика, социология, психология.

Бинарным отношением Т(М) на множестве М называется подмножество М 2 = М х М, Т(М) с М 2 . Формальная запись бинарного отношения выглядит шкТ(М) = {(х, у) / (х, у) е Т с М х М}. Обратите внимание: далее мы будем рассматривать только не пустые множества Ми заданные на них непустые бинарные отношения Т(М)

Понятие «бинарное отношение» является более общим понятием, чем функция. Каждая функция представляет собой бинарное отношение, но не каждое бинарное отношение есть функция.

Например, множество пар Р = {(а, Ь), (а, с), (а, б)} является бинарным отношением на множестве {а, Ъ, с, (1), но функцией не является. И наоборот, функция Р= {(а, Ь),(Ь, с), (с1, а)} является бинарным отношением, заданным на множестве {а, Ь, с, с!}.

Мы уже сталкивались с понятием отношения при рассмотрении с (включение) и = (равенство) между множествами. Также неоднократно вами использовались отношения =, Ф, , заданные на множестве чисел - как натуральных, так и целых, рациональных, вещественных и т.д.

Определим несколько понятий относительно бинарного отношения, заданного на множестве М[ 2, 11].

Обратное отношение

Я-"= {(х, у) / (у, х) € Я). (1.14)

Дополнительное отношение

Л = {(*, У) / (х, у) й /?}. (1.15)

Тождественное отношение

и = {(х, х) / X Е М). (1.16)

Универсальное отношение

I ={(х,у)/хеМ,уеМ}. (1.17)

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1.8

На множестве М= {а, Ь, с, с1 , е} задано бинарное отношение Т(М ) = = {{а, а ), (а , Ь ), (Ь , с), (с, ?/), (^/, б), {б, е)}. Построить отношения : обратное к Т , дополнительное к Т, тождественное бинарное отношение и и универсальное бинарное отношение /.

Решение.

Для решения этих задач нам нужны только определения.

По определению на множестве М= {а , Ь , с, б, е} обратное к ДЛ/) бинарное отношение должно содержать все обратные пары тождественное бинарное отношение Т~ = {(а , а ), (/?, я), (с, 6), (б, с), (^/, ?/), (с, б)}.

По определению на множестве М= {а, Ь, с , б, е} дополнительное к Т(М ) бинарное отношение должно содержать все пары из декартова произведения М 2 , которые не принадлежат Т(М), т.е. {(а , с), {а, Л), (а, е), (Ь, а), (Ь, Ь), (Ь, б), (Ь, е), (с, а), (с, Ь), (с, с), (с, е), {б, а), (б, Ь), (б, с), (е, а), (е, Ь), (е, с), (е, б), (е, е)}.

По определению на множестве М = {а, Ь, с, б , е} тождественное бинарное отношение и = {(а, а ), (Ь , /?), (с, с), (^/, ^/), (е, е)}.

По определению на множестве М = {а , 6, с, б, е} универсальное бинарное отношение содержит все пары из декартова произведения М 2 , т.е. / = {(а, а), (а , А), (о, с), (а,), (я, е), (Ь, а), (Ь, Ь), (Ь, с), (Ь, б), (Ь, е), (с, а), (с, Л), (с, с), (с, йО, (с, е), (б, а), (б , А), (, с), (,), (^,

Задача 1.9

На множестве М натуральных чисел от 1 до 5 построить бинарное отношение R = {(а , d) / mod(? r , Z>) = 0}, где mod - остаток от деления а на Ь.

Решение.

В соответствии с заданием на множестве натуральных чисел М строим такие пары (а , Ь), где а делится на b без остатка, т.е. mod(?, Ъ ) = = 0. Получаем R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (4, 2)}.

Существует несколько основных способов задания бинарных отношений: перечисление, графическое представление, матричное представление.

Бинарные отношения R можно задать в виде перечисления, как любое множество пар.

При графическом представлении каждый элемент х и у множества М представляется вершиной, а пара (х, у) представляется дугой изх в у.

Матричным способом бинарные отношения задаются с помощью матрицы смежности. Такой способ наиболее удобен при решении задач с помощью компьютера.

Матрица смежности S представляет собой квадратную матрицу тх/й, где т - мощность множества М, и каждый ее элемент 5(х, у) равен единице, если пара (х, у) принадлежит Т(М), и равен нулю в противном случае.

На рис. 1.3 представлено графическое и матричное представление для Т(М) = {(а , а), (а, Ъ), (b , с), (с, d), (d , d), (d, e)}.

Определяя свойства бинарных отношений, обычно выделяют рефлексивность, симметричность и транзитивность.

Бинарное отношение Т(М) называется рефлексивным тогда и только тогда, когда для каждого элемента х е М пара (х, х) принадлежит этому бинарному отношению Т(М), т.е. Vx е М, 3(х, х) е Т(М).

Рис. 1.3. Графическое (а) и матричное (б) представление множества

Классическим определением этого свойства является следующее утверждение: из того, что элемент х принадлежит множеству М, следует, что пара (х, х) принадлежит бинарному отношению Т(М), заданному на этом множестве, т.е. /хєМ-) (х, х) є Т(М).

Прямо противоположное свойство бинарных отношений называется иррефлексивностью. Бинарное отношение Т(М) называется иррефлексивным тогда и только тогда, когда для каждого элемента х из множества М пара (х, х) не принадлежит этому бинарному отношению, т.е. /х є М -> (х, х) ё Т(М).

Если бинарное отношение Т(М) не обладает ни свойством рефлексивности, ни свойством иррефлексивности, то оно является нерефлексивным.

Например, для множества М - {а, Ь, с , ^/, е} бинарное отношение Т Х (М) = {(а , а), (а, Ь), (Ь, Ь), (Ь, с), (с, с), (с, сі), (сі, сі), (сі , с), (е, е )} является рефлексивным, Т 2 (М) = {(а , Ь), (Ь , с), (с, сі), (сі, с), (сі, е )} является иррефлексивным, а Т 3 (М) = {(а , а ), (а, Ь), (Ь , с), (с, сі), (сі , ?/), (?/, с)} является нерефлексивным.

Если во множестве М содержится хотя бы один элемент х, то правильная классификация не представляет сложности. Обратите внимание: для однозначности решения задачи классификации свойство рефлексивности следует определять только для непустых множеств!

В соответствии с этим бинарное отношение на пустом множестве является нерефлексивным, так же как нерефлексивным будет пустое бинарное отношение.

Бинарное отношение Т(М) называется симметричным тогда и только тогда, когда для каждой пары различных элементов (х, у), принадлежащей бинарному отношению Т(М), обратная пара (у, х) также принадлежит этому бинарному отношению, т.е. /(х, у) є Т(М), 3(у, х) є Т(М). Свойство симметричности мы определяем только для множеств, содержащих хотя бы два различных элемента, и непустых бинарных отношений.

Классическим определением свойства симметричности является следующее утверждение: из того, что пара (х, у) принадлежит Т(М), следует, что обратная пара (у, х) также принадлежит Т(М), т.е. /(х, у) є Т(М) -> (у, х) є Т(М). В этом случае еслих = у, то свойство симметричности плавно переходит в рефлексивность.

Прямо противоположное свойство бинарных отношений называется антисимметричностью. Бинарное отношение Т(М) называется антисимметричным тогда и только тогда, когда для каждой пары различных элементов х и у пара (у, х) не принадлежит этому бинарному отношению, т.е. /(х, у) є Т(М), (у, х) і Т(М).

Классическим определением антисимметричности можно считать следующее . Из того, что в антисимметричном бинарном отношении Т(М) для любой пары (х, у) обратная пара (у, х) также принадлежит Т(М), следует, что х = у, т.е. ((х, у) е Т(М), (у , х) е Т(М )) -> -> х = у.

Если бинарное отношение Т(М ) не обладает ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности, то оно является несимметричным.

В случае когда Мили Т(М) пусты или М содержит единственный элемент х, наше бинарное отношение одновременно является как симметричным, так и антисимметричным. Для однозначности решения задачи классификации множество М должно содержать хотя бы два различных элемента х и у. Тогда бинарные отношения на пустом множестве, так же как на множествах с одним элементом, являются несимметричными.

М - {а, Ь, с, ^/, е}. Бинарное отношение Г, = {(а , а), (а, Ь ), (Ь , а ), (с, с1), (с /, с), (е , с), (с, е)} является симметричным, Т 2 = {(а, а), (а, Ь), (с, с1), (е , с), (с, Ь ), (Ь , е )} является антисимметричным, Т 3 = {(а, а ), (а , Ь ), (6, я), (с, с1), (е , с), (с, я)} - несимметричным. Обратите внимание: петля (а , я) никак не влияет на симметричность и антисимметричность.

Свойство транзитивности определяется на трех различных элементах х, у и I множества М. Бинарное отношение Т(М) называется транзитивным тогда и только тогда, когда для каждых двух пар различных элементов (х, у) и (у, О, принадлежащих бинарному отношению Т(М), пара (х, ?) также принадлежит этому бинарному отношению, т.е. (/(х, у) е Т(М), /(у, I) е Т(М)), 3(х, I) е Т(М). Таким образом, между элементами х и ^ существует транзитивное замыкание («транзит»), которое «спрямляет» путь длины два (х, у) и (у, z)?

Классическое определение свойства транзитивности формулируется следующим образом: из того, что в транзитивном бинарном отношении Т(М) существует пара (х, у) и пара (у, I), следует, что пара (х, I) также принадлежит этому бинарному отношению, т.е. ((х, у) е Т(М ), (у, I) е Т(М)) -э (х, I) е Т(М ).

Бинарное отношение Т(М) называется интранзитивным тогда и только тогда, когда для каждых двух пар элементов (х, у) и (у, ?), принадлежащих бинарному отношению Т(М), пара (х, не принадлежит этому бинарному отношению, т.е. (/(х, у) е Т(М), /(у, I) е Т{М)), (х, I) ? Т(М). Таким образом, в интранзитивном бинарном отношении ни один имеющийся путь длины два не обладает транзитивным замыканием!

Классическое определение свойства интранзитивности формулируется следующим образом: из того, что в транзитивном бинарном отношении Т(М) существует пара (х, у) и пара (у, I), следует, что пара (х, I) не принадлежит этому бинарному отношению, т.е. ((*, у) е Т(М), (у, I) е Т(М)) -э (х, I) ? Т(М).

Если бинарное отношение Т(М) не обладает ни свойством транзитивности, ни свойством интранзитивности, то оно является нетранзитивным.

Например, рассмотрим множество М - {а , Ь, с, б, е}. Бинарное отношение Т х = {(а , а), (а , Ь ), (а , с), (Ь , с), (с, с), (е , с)} является транзитивным, Т 2 = {(я, я), (я, 6), (6, с), (с, 1), (?, 0} является интранзитив-ным, Т 3 = {(а , я), (я, 6), (6, с), (^/, с), (я, с), (е , ?/)} - нетранзитивным.

Задача 1.10

На множестве М х - {а, Ь, с, б, е} построить бинарное отношение Я с заданными свойствами : нерефлексивности , антисимметричности и нетранзитивности.

Решение.

Правильных решений этой задачи целое множество! Построим одно из них. В нашем бинарном отношении на некоторых вершинах, но не на всех, должны быть петли; не должно быть ни одной обратной дуги; должны быть хотя бы два пути длины 2, из них хотя бы один не иметь транзитивного замыкания. Таким образом, получаем Я = {(а, а), (Ь , Ь ), (а , Ь ), (Ь , с), (с, б), (б, е), (а, с), (с, е)}.

Задача 1.11

Определить свойства бинарного отношения Т, заданного на множестве М 2 = {а, Ь, с, б, е}, представленного ранее на рис. 1.3.

Решение.

В данном бинарном отношении на двух вершинах есть петли, на трех петель нет, следовательно, бинарное отношении нерефлексивно. Нет ни одной обратной дуги, следовательно, бинарное отношение антисимметрично. Бинарное отношение обладает несколькими путями длины два, но ни один из них не обладает транзитивным замыканием - Т интранзитивно.

Само понятие «отношение», конечно, вам знакомо. Мы часто его употребляем в речи. Например, мы можем сказать, что я в хороших отношениях со всеми студентами моей группы.

В жизни мы постоянно находимся в различных отношениях и вступаем в различные отношения. С членами своей семьи мы находимся в отношении родства, со школьными товарищами - в отношении дружбы, с руководителями учреждения, где мы учимся или работаем, - в отношении подчинения и т.д. В этом смысле отношение - это определенный характер связи .

В параграфе 2.2 мы говорили об отношениях, которые существуют между математическими объектами. Так, элемент по отношению к множеству находится в отношении принадлежности, два множества могут находиться в отношении включения или равенства.

Сейчас мы рассмотрим отношения, которые могут существовать между элементами множеств. Итак, мы сказали, что отношение, установленное между элементами множеств в рассмотренном примере, называется бинарными.

По существу в примере мы составили сначала декартово произведение заданных множеств, т.е. множество всех пар элементов этих множеств, так, что первый элемент пары принадлежит первому множеству, а второй - второму. Затем мы из множества этих пар выбрали подмножество тех пар, которые показывают, на каком же факультете учится каждый из студентов.

Определение 2.8. Бинарным отношением между множествами Ли В называется любое подмножество декартова произведения Ах В.

Бинарные отношения обычно обозначают буквами греческого алфавита: р («ро»), а («сигма»), |/ («пси») и др.

Если р - некоторое бинарное отношение между множествами А и В, то согласно определению бинарного отношения мы можем записать, что р с с Л х В.

Если пара (а, b ) принадлежит бинарному отношению р, т.е. (а, b ) е р, то говорят, что элемент а находится в отношении р с элементом b , и пишут арб. Так, в приведенном выше примере рассмотрено отношение «учиться на факультете». Тогда можно сказать, что Петр находится в данном отношении с факультетом математики.

Для некоторых отношений в математике существуют определенные знаки. Например,

В связи с тем что бинарное отношение - это множество пар, то, как любое множество, его можно задать либо перечислением этих пар, либо указанием характеристического свойства для выделения из декартова произведения пар, принадлежащих данному отношению.

Пример 2.6

Пусть заданы два числовых множества: А = {1, 3,5} и В = {2, 8, 10}. Зададим бинарное отношение о между этими множествами перечислением: а = {(1, 2), (5, 10)}. Это же отношение мы может задать и характеристическим свойством: бинарное отношение образуют пары чисел, такие что число из первого множества в два раза меньше числа из второго множества.

Пример 2.7

Рассмотрим множество студентов вашей академической группы. Установим в этом множестве отношение «быть другом». Для любой пары студентов академической группы можно сказать, находятся они в данном отношении или нет. Может даже случиться так, что это бинарное отношение будет образовывать пустое множество. В каком случае это будет?

В последнем примере нужно обратить внимание на то, что мы устанавливали отношение не между элементами двух множеств, а между элементами одного множества. Это также возможно и не противоречит определению бинарного отношения. Только в этом случае вместо декартова произведения двух множеств нужно рассмотреть декартов квадрат множества.

Бинарное отношение, заданное на множестве, может иметь разные свойства. Рассмотрим их.

1. Свойство рефлексивности.

Определение 2.9. рефлексивным , если для любого а е Л пара (а> а) е р.

Отношение «

2. Свойство симметричности.

Определение 2.10. Говорят, что бинарное отношение р, заданное на множестве Л, является симметричным , если для любых элементов а и b из Л из того, что пара (а , b ) находится в отношении р, следует, что пара (b , а) находится в отношении р.

Например, отношение равенства, заданное на множестве действительных чисел, симметрично, так как если число k равно числу п } то и число п равно числу k. Симметричным является и отношение «быть другом».

С другой стороны, отношение упорядоченности по величине (

3. Свойство антисимметричности.

Определение 2.11. Говорят, что бинарное отношение р, заданное на множестве Л, является антисимметричным у если для любых элементов а и b из Л из того, что пары (я, /;) и (/;, а) находятся в отношении р, следует, что а = Ь.

Например, отношение упорядоченности по величине на множестве действительных чисел антисимметрично. Ведь если известно, что для чисел х и у выполнено х и у то это означает, что х - у. А вот отношение параллельности прямых не является антисимметричным, так как если прямая / параллельна прямой t и прямая t параллельна прямой /, то это не означает, что прямые / и t совпадают. Они могут быть различны.

4. Свойство транзитивности.

Определение 2.12. Говорят, что бинарное отношение р, заданное на множестве Л, является транзитивным у если для любых элементов а , b и с из Л из того, что пары (я, b ) и (/?, с) находятся в отношении р, следует, что пара (а, с) также находится в отношении р.

Свойством транзитивности обладают отношения упорядоченности по величине, параллельности, отношение «быть родственником».

Отношение перпендикулярности прямых не является транзитивным (покажите это с помощью рисунка). Также по существу не является транзитивным и отношение «быть другом» (хотя и есть присказка, в которой выражено желание о транзитивности этого отношения: «Друг моего друга - мой друг»).

Мы рассмотрели только основные свойства бинарных отношений, которые определяют два широко используемых типа отношений.

Отношением эквивалентности (или эквивалентностью) называется бинарное отношение, которое обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Отношением упорядоченности (или упорядоченностью) называется бинарное отношение, которое обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности.

Например, отношение «быть одноклассником» является эквивалентностью, так как оно обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности. Отношение «быть не выше ростом» на множестве людей является отношением упорядоченности.

Отношения эквивалентности и упорядоченности имеют очень важное значение в различных областях математики, а эквивалентность используется при выполнении классификаций различных объектов. Для того чтобы это понять, обратимся сначала к такому математическому понятию, как разбиение множества.

Определение 2.13. Разбиением множества/! называется представление этого множества в виде объединения непересекающихся подмножеств, которые называются классами разбиения.

Чтобы проверить, что мы имеем дело с разбиением множества, нужно проверить два условия:

• объединение полученных при разбиении подмножеств является исходным множеством;
• пересечение любых двух различных подмножеств является пустым множеством.

При выполнении классификации классами разбиения являются так называемые классы эквивалентности. Как же строятся эти классы?

Пусть на множестве А введено некоторое отношение эквивалентности р. Возьмем любой элемент а из А и все элементы из А, которые находятся с а в отношении р. Все эти элементы и будут образовывать класс эквивалентности элемента а. Понятно, что и сам элемент а попадет в этот класс. Действительно, если р - отношение эквивалентности, то оно обладает свойством рефлексивности, т.е. (а } а) е р, а это и означает, что сам элемент а входит в класс эквивалентности, который он образует.

Можно доказать, что классы эквивалентности различных элементов множества либо совпадают, либо не пересекаются. В связи с этим можно предположить, что эти классы могут рассматриваться в качестве классов разбиения.

Действительно, существует теорема, которая говорит о том, что если на множестве задано отношение эквивалентности, то множество всех классов эквивалентности, содержащих элементы этого множества, является разбиением этого множества.

С другой стороны, можно доказать, что если есть некоторое разбиение множества и на этом множестве задано бинарное отношение так, что пара элементов множества находится в этом отношении только при условии, что они оба принадлежат одному классу разбиения, то это бинарное отношение будет эквивалентностью.

Можно попробовать доказать каждое из этих утверждений самостоятельно или разобрать доказательство, которое приведено в работе .

При использовании классов эквивалентности мы разбиваем множество на подмножества, в каждое из которых входят своего рода «одинаковые» элементы. Например, множество всех положительных дробей можно разбить на классы эквивалентности таким образом: 1) взять каждую несокра-

тимую дробь (например, -); 2) в каждый класс эквивалентности соответ-

2 4 6 8 ч т

ствующеи дроби отнести все равные ей дроби - = - = - = 1аким

образом, мы разобьем все положительные дроби на соответствующие классы эквивалентности. Каждый такой класс является положительным рациональным числом.

• В Большой советской энциклопедии говорится, что «отношение - эмоционально-волевая установка личности на что-либо, т.е. выражение ее позиции; мысленное сопоставление различных объектов или сторон данного объекта». В толковом словаре Д. Н. Ушакова«отношение - взаимное общение, связь между людьми, обществами, странами и т.п., образующаяся из общения на какой-нибудь почве».

Пусть R - некоторое бинарное отношение на множестве X, а х, у, z любые его элементы. Если элемент х находится в отношении R с элементом у, то пишут xRy.

1. Отношение R на множестве X называется рефлексивным, если каждый элемент множества находится в этом отношении с самим собой.

R -рефлексивно на X <=> xRx для любого x€ X

Если отношение R рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. Например, отношения равенства и параллельности для отрезков являются рефлексивными, а отношение перпендику­лярности и «длиннее» не являются рефлексивными. Это отражают графы на рисунке 42.

2. Отношение R на множестве X называется симметричным, если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у находится в этом же отношении с элементом х.

R - симметрично на (хЯу =>у Rx)

Граф симметричного отношения содержит парные стрелки, идущие в противоположных направлениях. Отношения параллельнос­ти, перпендикулярности и равенства для отрезков обладают симмет­ричностью, а отношение «длиннее» - не является симметричным (рис. 42).

3. Отношение R на множестве X называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества X из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у в этом отношении с элементом х не находится.

R - антисимметрично на Х« (xRy и xy ≠ yRx)

Замечание: черта сверху обозначает отрицание высказывания.

На графе антисимметричного отношения две точки может сое­динять только одна стрелка. Примером такого отношения является отношение «длиннее» для отрезков (рис. 42). Отношения параллель­ности, перпендикулярности и равенства не являются антисиммет­ричными. Существуют отношения, не являющиеся ни симметрич­ными, ни антисимметричными, например отношение «быть братом» (рис. 40).

4. Отношение R на множестве X называется транзитивным, если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у и элемент у находится в этом лее отношении с элементом z, следует, что элемент х находится в данном отношении с элементом Z

R - транзитивно на A≠ (xRy и yRz=> xRz)

На графах отношений «длиннее», параллельности и равенства на рисунке 42 можно заметить, что если стрелка идет от первого элемента ко второму и от второго к третьему, то обязательно есть стрелка, идущая от первого элемента к третьему. Эти отношения яв­ляются транзитивными. Перпендикулярность отрезков не обладает свойством транзитивности.

Существуют и другие свойства отношений между элементами одного множества, которые мы не рассматриваем.

Одно и то же отношение может обладать несколькими свойст­вами. Так, например, на множестве отрезков отношение «равно» - рефлексивно, симметрично, транзитивно; отношение «больше» - антисимметрично и транзитивно.

Если отношение на множестве X рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно является отношением эквивалентности на этом множестве. Такие отношения разбивают множество X на классы.

Данные отношения проявляются, например, при выполнении заданий: «Подбери полоски равные по длине и разложи по груп­пам», «Разложи мячи так, чтобы в каждой коробке были мячи одно­го цвета». Отношения эквивалентности («быть равным по длине», «быть одного цвета») определяют в данном случае разбиение мно­жеств полосок и мячей на классы.

Если отношение на множестве 1 транзитивно и антисимметрич­но, то оно называется отношением порядка на этом множестве.

Множество с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.

Например, выполняя задания: «Сравни полоски по ширине и разложи их от самой узкой до самой широкой», «Сравни числа и разложи числовые карточки по порядку», дети упорядочивают эле­менты множеств полосок и числовых карточек при помощи отно­шений порядка; «быть шире», «следовать за».

Вообще отношения эквивалентности и порядка играют боль­шую роль в формировании у детей правильных представлений о классификации и упорядочении множеств. Кроме того, встречается много других отношений, которые не являются ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.

6. Что такое характеристическое свойство множества?

7. В каких отношениях могут находиться множества? Дайте пояснения каждому случаю и изобразите их при помощи кругов Эйлера.

8. Дайте определение подмножества. Приведите пример множеств, одно из которых является подмножеством другого. Запишите их от­ношение при помощи символов.

9. Дайте определение равных множеств. Приведите примеры двух равных множеств. Запишите их отношение при помощи символов.

10. Дайте определение пересечения двух множеств и изобразите его при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.

11. Дайте определение объединения двух множеств и изобразите его при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.

12. Дайте определение разности двух множеств и изобразите ее при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.

13. Дайте определение дополнения и изобразите его при помощи кругов Эйлера.

14. Что называется разбиением множества на классы? Назовите усло­вия правильной классификации.

15. Что называется соответствием между двумя множествами? Назо­вите способы задания соответствий.

16. Какое соответствие называется взаимно однозначным?

17. Какие множества называют равномощными?

18. Какие множества называют равночисленными?

19. Назовите способы задания отношений на множестве.

20. Какое отношение на множестве называют рефлексивным?

21. Какое отношение на множестве называют симметричным?

22. Какое отношение на множестве называют антисимметричным?

23. Какое отношение на множестве называют транзитивным?

24. Дайте определение отношения эквивалентности.

25. Дайте определение отношения порядка.

26. Какое множество называют упорядоченным?